例 9.43

依赖于

• 例 9.42

被以下题目直接调用

• 例 9.39

例 9.43

$n$ 维欧氏空间中任一正交变换均可表示为不超过 $n$ 个镜像变换之积。

解答

证明 对 $n$ 进行归纳。当 $n=1$ 时，正交变换 $\phi$ 或是恒等变换，或是 $\phi (x)=-x$，后者已是镜像变换，而恒等变换可看成是零个镜像变换之积，故结论成立。 假设结论对 $n-1$ 成立，现设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\phi$ 是 $V$ 上的正交变换。 若 $\phi$ 是恒等变换，则可看成是零个镜像变换之积，故结论成立。下设 $\phi$ 不是恒等变换， 取 $V$ 的一组标准正交基 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$，则存在某个 $i$，使得 $\phi (e_i)\ne e_i$。 不失一般性，可设 $\phi (e_1)\ne e_1$，因为 $\Vert \phi (e_1)\Vert =\Vert e_1\Vert =1$， 故由例 9.42 可知，存在镜像变换 $\psi$，使得 $\psi \phi (e_1)=e_1$。注意到 $\psi \phi$ 也是正交变换，故 $(\psi \phi {)}^{\ast }(e_1)=(\psi \phi {)}^{-1}(e_1)=e_1$， 于是 $V_1=L(e_1{)}^{\perp }$ 是 $\psi \phi$ 的不变子空间。由归纳假设， $\psi \phi {|}_{V_1}={\psi }_1{\psi }_2\cdots {\psi }_k$，其中 $k\le n-1$，且每个 ${\psi }_i$ 都是 $V_1$ 上的镜像变换。我们可将 ${\psi }_i$ 扩张到全空间 $V$ 上，满足 ${\psi }_i(e_1)=e_1$，不难验证得到的线性变换都是 $V$ 上的镜像变换（仍记为 ${\psi }_i$）。 注意到 ${\psi }^{-1}={\psi }^{\ast }=\psi$，故

$$\phi ={\psi }^{-1}{\psi }_1\cdots {\psi }_k=\psi {\psi }_1\cdots {\psi }_k$$

可表示为不超过 $n$ 个镜像变换之积，结论得证。$\square$