例 7.87

依赖于

被以下题目直接调用

例 7.87

设 $φ$ 为数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，特征多项式与极小多项式分别为 $f (λ)$ 和 $m (λ)$ ，其不可约分解为：
$f (λ) = P_{1} (λ)^{r_{1}} P_{2} (λ)^{r_{2}} \dots P_{t} (λ)^{r_{t}}, m (λ) = P_{1} (λ)^{s_{1}} P_{2} (λ)^{s_{2}} \dots P_{t} (λ)^{s_{t}},$
其中 $P_{i} (λ)$ 是 $K$ 上互异的首一不可约多项式， $r_{i} > 0, s_{i} > 0$ 。设
$V_{i} = Ker P_{i} (φ)^{r_{i}}, U_{i} = Ker P_{i} (φ)^{s_{i}}, 1 \leq i \leq t .$
求证：

(1) $V = V_{1} \oplus V_{2} \oplus \dots \oplus V_{t}, U_{i} = V_{i} (1 \leq i \leq t)$ ；

(2) $φ ∣_{V_{i}}$ 的特征多项式为 $P_{i} (λ)^{r_{i}}$ ，极小多项式为 $P_{i} (λ)^{s_{i}}$ 。特别地， $dim V_{i} = r_{i} de g P_{i} (λ)$ 。

解答

证明 (1) 令

h_{i} (λ) = \frac{f ( λ )}{P _{i} ( λ ) ^{r_{i}}} (1 \leq i \leq t),

则 $h_{1} (λ), h_{2} (λ), \dots, h_{t} (λ)$ 互素，故存在 $u_{i} (λ)$ ，使得

h_{1} (λ) u_{1} (λ) + h_{2} (λ) u_{2} (λ) + \dots + h_{t} (λ) u_{t} (λ) = 1.

将 $λ = φ$ 代入上式，可得

h_{1} (φ) u_{1} (φ) + h_{2} (φ) u_{2} (φ) + \dots + h_{t} (φ) u_{t} (φ) = I_{V} . (7.15)

由 Cayley-Hamilton 定理可知， $0 = f (φ) = P_{i} (φ)^{r_{i}} h_{i} (φ)$ ，故对任意的 $α \in V$ ，可知 $h_{i} (φ) u_{i} (φ) (α) \in V_{i}$ ，并由 (7.15) 式可得

α = h_{1} (φ) u_{1} (φ) (α) + h_{2} (φ) u_{2} (φ) (α) + \dots + h_{t} (φ) u_{t} (φ) (α),

从而 $V = V_{1} + V_{2} + \dots + V_{t}$ 。另一方面，任取 $α_{1} \in V_{1} \cap (\sum_{j > 1} V_{j})$ ，即 $α_{1} \in V_{1}$ ， $α_{1} = \sum_{j > 1} α_{j}$ ，其中 $α_{j} \in V_{j}$ ，则由 (7.15) 式可得

α_{1} = u_{1} (φ) h_{1} (φ) (j > 1 \sum α_{j}) + j > 1 \sum u_{j} (φ) h_{j} (φ) (α_{1}) = 0,

故 $V_{1} \cap (\sum_{j > 1} V_{j}) = 0$ 。由指标的任意性可知 $V = V_{1} \oplus V_{2} \oplus \dots \oplus V_{t}$ 。同理可证 $V = U_{1} \oplus U_{2} \oplus \dots \oplus U_{t}$ 。由于 $m (λ) ∣ f (λ)$ ，故 $s_{i} \leq r_{i}$ ，于是 $U_{i} \subseteq V_{i}$ ，从而只能是 $U_{i} = V_{i} (1 \leq i \leq t)$ 。

(2) 将 $φ ∣_{V_{i}}$ 简记为 $φ_{i}$ ，设其特征多项式与极小多项式分别为 $f_{i} (λ)$ 和 $m_{i} (λ)$ 。由于 $V_{i} = Ker P_{i} (φ)^{r_{i}}$ ，故 $φ_{i}$ 适合 $P_{i} (λ)^{r_{i}}$ ，从而 $φ_{i}$ 的特征值都适合 $P_{i} (λ)^{r_{i}}$ ，即 $f_{i} (λ)$ 的根都是 $P_{i} (λ)^{r_{i}}$ 的根。由例 6.3 可得

f (λ) = P_{1} (λ)^{r_{1}} P_{2} (λ)^{r_{2}} \dots P_{t} (λ)^{r_{t}} = f_{1} (λ) f_{2} (λ) \dots f_{t} (λ),

由于 $P_{1} (λ)^{r_{1}}, P_{2} (λ)^{r_{2}}, \dots, P_{t} (λ)^{r_{t}}$ 两两互素，故只能是 $f_{i} (λ) = P_{i} (λ)^{r_{i}}$ 。另一方面， $φ_{i}$ 也适合多项式 $P_{i} (λ)^{s_{i}}$ ，故由极小多项式的基本性质可得 $m_{i} (λ) ∣ P_{i} (λ)^{s_{i}}$ 。特别地， $m_{1} (λ), m_{2} (λ), \dots, m_{t} (λ)$ 两两互素，从而它们的最小公倍式等于它们的乘积。由例 6.77 可得

m (λ) = P_{1} (λ)^{s_{1}} P_{2} (λ)^{s_{2}} \dots P_{t} (λ)^{s_{t}} = m_{1} (λ) m_{2} (λ) \dots m_{t} (λ),

从而只能是 $m_{i} (λ) = P_{i} (λ)^{s_{i}}$ 。因为特征多项式的次数等于线性空间的维数，所以 $dim V_{i} = de g P_{i} (λ)^{r_{i}} = r_{i} de g P_{i} (λ)$ 。 $□$

群知识库

Explorer

例 7.87

例 7.87

依赖于

被以下题目直接调用

解答

评论

Graph View

目录

反向链接