例 7.91

依赖于

• 例 7.87
• 例 7.90

被以下题目直接调用

• 无

例 7.91

设 $\phi$ 是 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换，其特征多项式 $f(\lambda )$ 等于其极小多项式 $m(\lambda )$，求所有的 $\phi$-不变子空间。

解答

解 设

$$f(\lambda )=m(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{r_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{r_2}\cdots (\lambda -{\lambda }_k{)}^{r_k},$$

其中 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_k$ 是 $\phi$ 的全体不同的特征值。令 $V_i=\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_i{I}_V{)}^{r_i}$ 为对应的根子空间，则 $V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_k$。设 $\phi {|}_{V_i}$ 的特征多项式为 $f_i(\lambda )$，极小多项式为 $m_i(\lambda )$，则由例 7.87 可知， $f_i(\lambda )=m_i(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_i{)}^{r_i}$。任取 $V$ 的 $\phi$-不变子空间 $U$，设 $\phi {|}_U$ 的特征多项式为 $g(\lambda )$，则 $g(\lambda )\mid f(\lambda )$。若设

$$g(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{s_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{s_2}\cdots (\lambda -{\lambda }_k{)}^{s_k},U_i=\mathrm{Ker}(\phi {|}_U-{\lambda }_i{I}_U{)}^{s_i},$$

则由例 7.87 可知，$U=U_1\oplus U_2\oplus \cdots \oplus U_k$，其中 $U_i$ 是 $V_i$ 的 $\phi$-不变子空间。由例 7.90 的证明过程可得到 $U_i$ 的结构 （共有 $r_i+1$ 个），进一步可得到 $\phi$-不变子空间 $U$ 的结构。 因此，$V$ 的 $\phi$-不变子空间一共有 $(r_1+1)(r_2+1)\cdots (r_k+1)$ 个。$\square$