例 7.90

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 7.91

例 7.90

设 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换 $\phi$ 在一组基 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 下的表示矩阵为 Jordan 块 $J_n({\lambda }_0)$， 求所有的 $\phi$-不变子空间。

解答

解法 1 令 $\psi =\phi -{\lambda }_0{I}_V$，则有循环轨道

$$J_n(0):e_n\stackrel{\psi }{\to }{e}_{n-1}\stackrel{\psi }{\to }\cdots \stackrel{\psi }{\to }{e}_2\stackrel{\psi }{\to }{e}_1\stackrel{\psi }{\to }0,$$

并且 $\phi$-不变子空间等价于 $\psi$-不变子空间。显然 $V_i=L(e_1,e_2,\cdots ,e_i)(0\le i\le n)$ 都是 $\psi$-不变子空间， 我们来证明 $V$ 只有这 $n+1$ 个 $\psi$-不变子空间。任取非零 $\psi$-不变子空间 $U$，设

$$k=\max \{i\mid \text{存在 }u\in U,u=c_1{e}_1+\cdots +c_i{e}_i+\cdots +c_n{e}_n,\text{其中 }{c}_i\ne 0\},$$

则 $U\subseteq L(e_1,e_2,\cdots ,e_k)$。另一方面，取 $u\in U$， $u=c_1{e}_1+c_2{e}_2+\cdots +c_k{e}_k$，使得 $c_k\ne 0$，则由循环轨道可得

$$u=(c_1{\psi }^{k-1}+c_2{\psi }^{k-2}+\cdots +c_k{I}_V)(e_k).$$

令 $q(\lambda )=c_1{\lambda }^{k-1}+c_2{\lambda }^{k-2}+\cdots +c_k$，则 $(q(\lambda ),{\lambda }^n)=1$，于是存在 $p(\lambda ),q_1(\lambda )$，使得 $q(\lambda )p(\lambda )+{\lambda }^n{q}_1(\lambda )=1$。在上式中代入 $\lambda =\psi$ 并作用在 $e_k$ 上可得

$$e_k=p(\psi )q(\psi )(e_k)+q_1(\psi ){\psi }^n(e_k)=p(\psi )(u)\in U,$$

于是由循环轨道可得 $e_i\in U(1\le i\le k)$，从而 $U=L(e_1,e_2,\cdots ,e_k)$。

解法 2 任取非零 $\phi$-不变子空间 $U$，容易证明限制变换 $\phi {|}_U$ 的特征多项式是 $\phi$ 的特征多项式 $(\lambda -{\lambda }_0{)}^n$ 的因式，不妨设为 $(\lambda -{\lambda }_0{)}^k$，其中 $1\le k\le n$，由 Cayley-Hamilton 定理可知 $U\subseteq \mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V{)}^k=\mathrm{Ker}{\psi }^k$。 任取 $v={\sum }_{i=1}^n{c}_i{e}_i\in \mathrm{Ker}{\psi }^k$，则

$$0={\psi }^k(v)=c_{k+1}{\psi }^k(e_{k+1})+\cdots +c_n{\psi }^k(e_n)=c_{k+1}{e}_1+\cdots +c_n{e}_{n-k},$$

于是 $c_{k+1}=\cdots =c_n=0$，从而 $\mathrm{Ker}{\psi }^k=L(e_1,\cdots ,e_k)$。注意到 $k=\mathrm{deg}(\lambda -{\lambda }_0{)}^k=\dim U\le \dim \mathrm{Ker}{\psi }^k=k$， 故 $U=\mathrm{Ker}{\psi }^k=L(e_1,\cdots ,e_k)$。$\square$