例 6.77

依赖于

例 6.77

设 $A = diag {A_{1}, A_{2}, \dots, A_{k}}$ 为分块对角矩阵，其中 $A_{i}$ 都是方阵，求证： $A$ 的极小多项式等于诸 $A_{i}$ 的极小多项式之最小公倍式。

证明设 $A_{i}$ 的极小多项式为 $m_{i} (x)$ ， $A$ 的极小多项式为 $m (x)$ 。诸 $m_{i} (x)$ 的最小公倍式是 $g (x)$ ，则 $g (A_{i}) = O$ ，故

g (A) = diag {g (A_{1}), g (A_{2}), \dots, g (A_{k})} = O,

因此 $m (x) ∣ g (x)$ 。注意到

m (A) = diag {m (A_{1}), m (A_{2}), \dots, m (A_{k})} = O,

故对每个 $i$ 有 $m (A_{i}) = O$ ，从而 $m_{i} (x) ∣ m (x)$ 。又 $g (x)$ 是诸 $m_{i} (x)$ 的最小公倍式，故 $g (x) ∣ m (x)$ ，于是 $m (x) = g (x)$ 。 $□$