例 9.111

依赖于

被以下题目直接调用

例 9.111

设 $φ$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的线性变换， $g (x)$ 是 $φ$ 的极小多项式，求证： $φ$ 是正规算子的充要条件是对 $g (x)$ 的任一不可约因式 $g_{i} (x)$ ，以下两个条件都成立：
$(1) (2) V = Ker g_{i} (φ) ⊥ Im g_{i} (φ); 任取 Ker g_{i} (φ) 中两个正交的向量 α, β, 则 φ (α) 与 φ (β) 也正交。$

解答

证明先证必要性：若 $φ$ 是正规算子，则由教材 [1] 中的定理 9.7.1 可知， $φ$ 的极小多项式 $g (x)$ 无重因式，即 $g (x) = g_{1} (x) g_{2} (x) \dots g_{k} (x)$ ，其中 $g_{i} (x)$ 是 $g (x)$ 互异的首一不可约因式，并且

V = Ker g_{1} (φ) ⊥ Ker g_{2} (φ) ⊥ \dots ⊥ Ker g_{k} (φ) . (9.16)

对任意的 $i \neq = j$ ，由 $(g_{i} (x), g_{j} (x)) = 1$ 可知，存在实系数多项式 $u (x), v (x)$ ，使得 $g_{i} (x) u (x) + g_{j} (x) v (x) = 1$ ，于是 $g_{i} (φ) u (φ) + g_{j} (φ) v (φ) = I_{V}$ 。任取 $v \in Ker g_{j} (φ)$ ，则

v = g_{i} (φ) u (φ) (v) + v (φ) g_{j} (φ) (v) = g_{i} (φ) u (φ) (v) \in Im g_{i} (φ),

于是 $Ker g_{j} (φ) \subseteq Im g_{i} (φ)$ 。进一步，

j \neq = i \sum Ker g_{j} (φ) \subseteq Im g_{i} (φ) .

由线性映射维数公式以及 (9.16) 式可得

Im g_{i} (φ) = j \neq = i \sum Ker g_{j} (φ) = ⊥_{j \neq = i} Ker g_{j} (φ),

从而 $V = Ker g_{i} (φ) ⊥ Im g_{i} (φ)$ ，即条件 (1) 成立。令 $φ_{i}$ 为 $φ$ 在 $Ker g_{i} (φ)$ 上的限制，则 $φ_{i}$ 仍为实正规算子且极小多项式为 $g_{i} (x)$ 。若 $g_{i} (x) = x - c_{i}$ ，则 $φ_{i} = c_{i} I$ 为纯量变换，它显然保持向量的正交性不变。若 $g_{i} (x) = (x - a_{i})^{2} + b_{i}^{2}$ ，其中 $b_{i} \neq = 0$ ，则由例 9.108 可得 $φ_{i}^{*} φ_{i} = (a_{i}^{2} + b_{i}^{2}) I$ ，再由例 9.110 可知 $φ_{i}$ 保持向量的正交性不变，即条件 (2) 也成立。

再证充分性。设 $φ$ 满足条件 (1) 和 (2)，其极小多项式

g (x) = g_{1} (x)^{r_{1}} g_{2} (x)^{r_{2}} \dots g_{k} (x)^{r_{k}},

其中 $g_{i} (x)$ 是 $g (x)$ 互异的首一不可约因式。若 $r_{1} > 1$ ，则对任一 $v \in V$ ，

g_{1} (φ)^{r_{1} - 1} g_{2} (φ)^{r_{2}} \dots g_{k} (φ)^{r_{k}} (v) \in Ker g_{1} (φ) \cap Im g_{1} (φ) = 0,

于是 $φ$ 也适合多项式 $g_{1} (x)^{r_{1} - 1} g_{2} (x)^{r_{2}} \dots g_{k} (x)^{r_{k}}$ ，这与 $g (x)$ 是极小多项式相矛盾，因此

g (x) = g_{1} (x) g_{2} (x) \dots g_{k} (x) .

由例 7.87 可知

V = Ker g_{1} (φ) \oplus Ker g_{2} (φ) \oplus \dots \oplus Ker g_{k} (φ) .

由必要性中间完全类似的讨论可得

Im g_{i} (φ) = \oplus_{j \neq = i} Ker g_{j} (φ),

再由条件 (1) 可知，对任意的 $i \neq = j$ ， $Ker g_{i} (φ) ⊥ Ker g_{j} (φ)$ ，于是

V = Ker g_{1} (φ) ⊥ Ker g_{2} (φ) ⊥ \dots ⊥ Ker g_{k} (φ) .

若 $g_{i} (x) = x - c_{i}$ ，则 $φ_{i} = c_{i} I$ 为纯量变换，于是存在 $Ker g_{i} (φ)$ 的一组标准正交基，使得 $φ_{i}$ 的表示矩阵为纯量矩阵 $c_{i} I$ 。若 $g_{i} (x) = (x - a_{i})^{2} + b_{i}^{2}$ ，其中 $b_{i} \neq = 0$ ，则 $φ_{i}$ 是非零线性变换且保持 $Ker g_{i} (φ)$ 中向量的正交性不变，故由例 9.110 可知，存在正实数 $k_{i}$ ，使得 $φ_{i}^{*} φ_{i} = k_{i} I$ ，故 $φ_{i}^{*} = k_{i} φ_{i}^{- 1}$ ，于是 $φ_{i}$ 是 $Ker g_{i} (φ)$ 上的正规算子，从而存在一组标准正交基，使得 $φ_{i}$ 的表示矩阵为

A_{i} = diag {(a_{i} - b_{i} b_{i} a_{i}), \dots, (a_{i} - b_{i} b_{i} a_{i})} .

将 $Ker g_{i} (φ)$ 的标准正交基拼成全空间 $V$ 的一组标准正交基，则 $φ$ 在这组基下的表示矩阵为

A = diag {(a_{1} - b_{1} b_{1} a_{1}), \dots, (a_{r} - b_{r} b_{r} a_{r}), c_{2 r + 1}, \dots, c_{n}},

这是一个实正规矩阵，从而 $φ$ 是实正规算子。 $□$

群知识库

Explorer

例 9.111

例 9.111

依赖于

被以下题目直接调用

解答

评论

Graph View

目录

反向链接