例 9.108

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• 无显式依赖

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• 例 9.109
• 例 9.111

例 9.108

设 $\phi$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的正规算子，其极小多项式为 $g(x)=(x-a{)}^2+b^2$，其中 $b\ne 0$，求证：$\phi$ 是 $V$ 上的自同构且 ${\phi }^{\ast }=(a^2+b^2){\phi }^{-1}$。

解答

证明 只要证明 ${\phi }^{\ast }\phi =(a^2+b^2)I_V$ 即可。设 $\phi$ 在 $V$ 的某组标准正交基下的 表示矩阵为正交相似标准型

$$A=\mathrm{diag}\left\{\left(\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ -b_1& a_1\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{cc}{a}_r& b_r\\ -b_r& a_r\end{array}\right),c_{2r+1},\cdots ,c_n\right\},$$

其中 $a_i,b_i,c_j$ 都是实数并且 $b_i\ne 0$。因为 $\phi$ 的极小多项式为 $g(x)=(x-a{)}^2+b^2$，所以在上述分块矩阵中没有一阶的块，并且每个二阶的块都等于

$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$$

（也可以直接引用教材 [1] 中的定理 9.7.2 得到这一结论）， 从而 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵为

$$A=\mathrm{diag}\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)\right\},r=\frac{n}{2}.$$

因为 $A^{\prime }A=(a^2+b^2)I_n$，所以 ${\phi }^{\ast }\phi =(a^2+b^2)I_V$。$\square$