例 6.88

依赖于

• 例 6.83
• 例 6.23

被以下题目直接调用

• 例 6.89
• 例 6.90
• 例 6.91
• 第 6 章解答题 14

例 6.88

设 $A$ 为 $m$ 阶矩阵，$B$ 为 $n$ 阶矩阵，求证：若 $A,B$ 没有公共的特征值，则矩阵方程 $AX=XB$ 只有零解 $X=O$。

解答

证法 1 设 $f(\lambda )=|\lambda I_m-A|$ 为 $A$ 的特征多项式，则由 Cayley-Hamilton 定理可知 $f(A)=O$，再由 $AX=XB$ 可得

$$O=f(A)X=Xf(B).$$

因为 $A,B$ 没有公共的特征值，故由例 6.83 可知，$f(B)$ 是可逆矩阵，从而由上式即得 $X=O$。

证法 2 任取矩阵方程的一个解 $X=C$，若 $C\ne O$，则 $r(C)=r\ge 1$。由例 6.23 可知，$A,B$ 至少有 $r$ 个相同的特征值，这与 $A,B$ 没有公共的特征值相矛盾。因此 $C=O$，即矩阵方程只有零解。$\square$