例 6.90

依赖于

• 例 6.88

被以下题目直接调用

• 例 9.109

例 6.90

设 $A=\mathrm{diag}\{A_1,A_2,\cdots ,A_m\}$ 为 $n$ 阶分块对角矩阵，其中 $A_i$ 是 $n_i$ 阶矩阵且两两没有公共的特征值。设 $B$ 是 $n$ 阶矩阵，满足 $AB=BA$，求证： $B=\mathrm{diag}\{B_1,B_2,\cdots ,B_m\}$，其中 $B_i$ 也是 $n_i$ 阶矩阵。

解答

证明 按照 $A$ 的分块方式对 $B$ 进行分块，可设 $B=(B_{ij})$，其中 $B_{ij}$ 是 $n_i\times n_j$ 矩阵。由 $AB=BA$ 可知，对任意的 $i,j$，有 $A_i{B}_{ij}=B_{ij}{A}_j$。因为 $A_i,A_j(i\ne j)$ 没有公共的特征值，故由例 6.88 可得 $B_{ij}=O(i\ne j)$，从而 $B=\mathrm{diag}\{B_{11},B_{22},\cdots ,B_{mm}\}$ 也是分块对角矩阵。$\square$