例 6.91

依赖于

• 例 6.88

被以下题目直接调用

• 例 6.92
• 例 7.56
• 例 9.116

例 6.91

设 $A,B$ 分别为 $m,n$ 阶矩阵，$V$ 为 $m\times n$ 矩阵全体构成的线性空间，$V$ 上的 线性变换 $\phi$ 定义为：$\phi (X)=AX-XB$。求证：$\phi$ 是线性自同构的充要条件 是 $A,B$ 没有公共的特征值。此时，对任一 $m\times n$ 矩阵 $C$，矩阵方程 $AX-XB=C$ 存在唯一解。

解答

证明 若 $A,B$ 没有公共的特征值，则由例 6.88 可知，$\phi$ 是 $V$ 上的单映射，从而是 线性自同构。若 $A,B$ 有公共的特征值 ${\lambda }_0$，则 ${\lambda }_0$ 也是 $B^{\prime }$ 的特征值。 设 $\alpha ,\beta$ 为对应的特征向量，即 $A\alpha ={\lambda }_0\alpha ,B^{\prime }\beta ={\lambda }_0\beta$， 则 $\alpha {\beta }^{\prime }\ne O$ 且

$$\phi (\alpha {\beta }^{\prime })=(A\alpha ){\beta }^{\prime }-\alpha (B^{\prime }\beta {)}^{\prime }={\lambda }_0\alpha {\beta }^{\prime }-{\lambda }_0\alpha {\beta }^{\prime }=O,$$

于是 $\mathrm{Ker}\phi \ne 0$，从而 $\phi$ 不是线性自同构。$\square$