例 6.92

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• 例 6.91

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• 无

例 6.92

设 $n$ 阶实矩阵 $A$ 的所有特征值都是正实数，证明：对任一实对称矩阵 $C$，存在唯一的 实对称矩阵 $B$，满足 $A^{\prime }B+BA=C$。

解答

证明 考虑矩阵方程 $A^{\prime }X-X(-A)=C$，注意到 $A^{\prime }$ 的特征值全部大于零，$-A$ 的特征值全部小于零， 它们没有公共的特征值，故由例 6.91 可得上述矩阵方程存在唯一解 $X=B$。容易验证 $X=\overline{B},B^{\prime }$ 也都是上述矩阵方程的解，故由解的唯一性可知 $B=\overline{B}$ 且 $B=B^{\prime }$，即 $B$ 为实对称矩阵，结论得证。$\square$