例 6.23

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• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 3.95
• 例 6.88

例 6.23

设 $A,B,C$ 分别是 $m\times m$、$n\times n$、$m\times n$ 矩阵，满足 $AC=CB$， $r(C)=r$。求证：$A$ 和 $B$ 至少有 $r$ 个相同的特征值。

解答

证明 设 $P$ 为 $m$ 阶非异阵，$Q$ 为 $n$ 阶非异阵，使得

$$PCQ=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right).$$

注意到问题的条件和结论在相抵变换 $C\mapsto PCQ$，$A\mapsto PA{P}^{-1}$，$B\mapsto Q^{-1}BQ$ 下保持不变， 故不妨从一开始就假设

$$C=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)$$

是相抵标准型。设

$$A=\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}{B}_{11}& B_{12}\\ B_{21}& B_{22}\end{array}\right)$$

为对应的分块，则

$$AC=\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& O\\ A_{21}& O\end{array}\right),CB=\left(\begin{array}{cc}{B}_{11}& B_{12}\\ O& O\end{array}\right).$$

由 $AC=CB$ 可得 $A_{11}=B_{11},A_{21}=O,B_{12}=O$。于是

$$|\lambda I_m-A|=|\lambda I_r-A_{11}||\lambda I_{m-r}-A_{22}|,|\lambda I_n-B|=|\lambda I_r-B_{11}||\lambda I_{n-r}-B_{22}|,$$

从而 $A,B$ 至少有 $r$ 个相同的特征值（即 $A_{11}=B_{11}$ 的特征值）。$\square$