例 3.95

依赖于

• 例 4.22
• 例 6.19
• 例 6.23
• 例 6.47

被以下题目直接调用

• 无

例 3.95

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵且 $\mathrm{r}(A)=r$，求证：$A^2=A$ 的充要条件是存在秩等于 $r$ 的 $n\times r$ 矩阵 $S$ 和秩等于 $r$ 的 $r\times n$ 矩阵 $T$，使得

$$A=ST,TS=I_r.$$

解答

证明 充分性显然，现证必要性。设 $P,Q$ 为 $n$ 阶非异阵，使得

$$A=P\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)Q.$$

代入 $A^2=A$ 消去两侧的非异阵 $P$ 和 $Q$，可得

$$\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)QP\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right).$$

只需令

$$S=P\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{I}_r\\ O\end{array}\right),T=(I_r,O)\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)Q,$$

经简单计算即得结论。

\par推论 设 $A$ 为 $n$ 阶幂等矩阵，则

$$\mathrm{tr}(A)=\mathrm{r}(A).$$

证明 由上例可知，

$$\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(ST)=\mathrm{tr}(TS)=\mathrm{tr}(I_r)=r=\mathrm{r}(A).$$

\par注 如果读者已学过相似标准型，用相似标准型来证明则更简单。事实上，由 $A^2=A$ 可知，存在可逆矩阵 $P$，使得

$$A=P\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)P^{-1}=P\left(\begin{array}{c}{I}_r\\ O\end{array}\right)(I_r,O)P^{-1},$$

令

$$S=P\left(\begin{array}{c}{I}_r\\ O\end{array}\right),T=(I_r,O)P^{-1}$$

即可。

在后面的章节中我们可以看到，利用矩阵的相抵标准型，还可以化简线性映射的表示矩阵（例 4.22），证明特征值的降阶公式（例 6.19），研究 $AX=XB$ 型矩阵方程的解（例 6.23），以及处理矩阵的相似问题（例 6.47）等。