例 4.22

依赖于

• 例 4.21
• 例 4.23

被以下题目直接调用

• 例 3.95
• 例 4.3

例 4.22

设 $\phi$ 是有限维线性空间 $V$ 到 $U$ 的线性映射，求证：必存在 $V$ 和 $U$ 的两组基，使线性映射 $\phi$ 在两组基下的表示矩阵为

$$\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right).$$

解答

证明 设 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 是 $V$ 的一组基，$\{g_1,g_2,\cdots ,g_m\}$ 是 $U$ 的一组基，$\phi$ 在这两组基下的表示矩阵为 $A$。由相抵标准型理论可知，存在 $m$ 阶非异阵 $Q$，$n$ 阶非异阵 $P$，使得

$$Q^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right).$$

设 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$ 是 $V$ 的一组新基，使得从 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 到 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$ 的过渡矩阵为 $P$；设 $\{h_1,h_2,\cdots ,h_m\}$ 是 $U$ 的一组新基，使得从 $\{g_1,g_2,\cdots ,g_m\}$ 到 $\{h_1,h_2,\cdots ,h_m\}$ 的过渡矩阵为 $Q$，则由例 4.21 可知，$\phi$ 在两组新基下的表示矩阵为

$$Q^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right).\square$$

\par注 利用例 4.22 可以得到 $\mathrm{Ker}\phi =L(f_{r+1},\cdots ,f_n)$，$\mathrm{Im}\phi =L(h_1,\cdots ,h_r)$，由此即得线性映射的维数公式。下面的例 4.23 给出了线性映射维数公式的第二种证明。