例 4.3

依赖于

• 例 4.22

被以下题目直接调用

• 无

例 4.3

设 $\phi$ 是有限维线性空间 $V$ 到 $U$ 的线性映射，求证：必存在 $U$ 到 $V$ 的线性映射 $\psi$，使得 $\phi \psi \phi =\phi$。

解答

证明 设 $V$ 和 $U$ 的维数分别是 $n$ 和 $m$。由例 4.22 可知，存在 $V$ 和 $U$ 的基 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$，$\{f_1,f_2,\cdots ,f_m\}$，使得 $\phi$ 在这两组基下的表示矩阵为

$$\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right).$$

这就是 $\phi (e_i)=f_i,1\le i\le r;\phi (e_j)=0,r+1\le j\le n$。定义 $\psi$ 是 $U$ 到 $V$ 的线性映射，它在基上的作用为

$$\psi (f_i)=e_i,1\le i\le r;\psi (f_j)=0,r+1\le j\le m,$$

则在 $V$ 的基上，有

$$\phi \psi \phi (e_i)=\phi \psi (f_i)=\phi (e_i),1\le i\le r;$$ $$\phi \psi \phi (e_j)=\phi \psi (0)=0=\phi (e_j),r+1\le j\le n.$$

于是 $\phi \psi \phi =\phi$。$\square$