例 6.89

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• 例 6.88

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• 无

例 6.89

设 $n$ 阶方阵 $A,B$ 的特征值全部大于零且满足 $A^2=B^2$，求证：$A=B$。

解答

证明 由 $A^2=B^2$ 可得 $A(A-B)=(A-B)(-B)$，即 $A-B$ 是矩阵方程 $AX=X(-B)$ 的解。注意到 $A$ 的特征值全部大于零，$-B$ 的特征值全部小于零，故它们没有 公共的特征值，由例 6.88 可得 $A-B=O$，即 $A=B$。$\square$