例 6.64

依赖于

• 例 4.11
• 例 6.55
• 例 2.14

被以下题目直接调用

• 无

例 6.64

设 $A$ 是 $n$ 阶复矩阵且有 $n$ 个不同的特征值，求证：$n$ 阶复矩阵 $B$ 可对角化的 充要条件是存在次数不超过 $n-1$ 的多项式 $f(x)$，使得 $B$ 相似于 $f(A)$。

解答

证明 先证充分性。由于 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，故 $A$ 可对角化，从而 $f(A)$ 也可对角化， 又 $B$ 相似于 $f(A)$，于是 $B$ 也可对角化。再证必要性。设 $P,Q$ 为可逆矩阵，使得

$$P^{-1}AP=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\},Q^{-1}BQ=\mathrm{diag}\{{\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_n\},$$

其中 ${\lambda }_i,{\mu }_i$ 分别是 $A,B$ 的特征值。因为 ${\lambda }_i$ 互不相同，故由 例 4.11（Lagrange 插值定理）可知，存在次数不超过 $n-1$ 的多项式 $f(x)$，使得 $f({\lambda }_i)={\mu }_i(1\le i\le n)$。于是

$$Q^{-1}BQ=\mathrm{diag}\{f({\lambda }_1),f({\lambda }_2),\cdots ,f({\lambda }_n)\}=f(P^{-1}AP)=P^{-1}f(A)P,$$

即有 $B=(P{Q}^{-1}{)}^{-1}f(A)(P{Q}^{-1})$，从而 $B$ 相似于 $f(A)$。$\square$

下面的推论是例 6.55 的推广。

\par推论 $n$ 阶复方阵 $B$ 可对角化的充要条件是 $B$ 相似于某个循环矩阵。

证明 设

$$J=\left(\begin{array}{cc}O& I_{n-1}\\ 1& O\end{array}\right),$$

经简单计算可得 $|\lambda I_n-J|={\lambda }^n-1$，于是 $J$ 有 $n$ 个不同的特征值。 对任一循环矩阵 $C$，由例 2.14 可知，存在次数不超过 $n-1$ 的多项式 $f(x)$，使得 $C=f(J)$，故由例 6.64 即得本推论。$\square$