例 2.14

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例 2.1

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例 2.16
第 2 章解答题 13
例 6.9
例 6.64

例 2.14

下列形状的矩阵称为循环矩阵：
$a_{1} a_{n} a_{n - 1} ⋮ a_{2} a_{2} a_{1} a_{n} ⋮ a_{3} a_{3} a_{2} a_{1} ⋮ a_{4} \dots \dots \dots \dots a_{n} a_{n - 1} a_{n - 2} ⋮ a_{1} .$
求证：同阶循环矩阵之积仍是循环矩阵。

解答

证明设基础循环矩阵

J = (O 1 I_{n - 1} O),

则由例 2.1 可知，上述循环矩阵 $A$ 可表示为基础循环矩阵 $J$ 的多项式：

A = a_{1} I_{n} + a_{2} J + a_{3} J^{2} + \dots + a_{n} J^{n - 1} .

反之，若一个矩阵能表示为基础循环矩阵 $J$ 的上述多项式形状，则它必是循环矩阵。两个循环矩阵之积可写为 $J$ 的两个多项式之积，注意到 $J^{n} = I_{n}$ ，由此即得结论。 $□$

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