例 6.9

依赖于

例 2.14

被以下题目直接调用

例 6.9

求下列循环矩阵的特征值：
$A = a_{1} a_{n} a_{n - 1} ⋮ a_{2} a_{2} a_{1} a_{n} ⋮ a_{3} a_{3} a_{2} a_{1} ⋮ a_{4} \dots \dots \dots \dots a_{n} a_{n - 1} a_{n - 2} ⋮ a_{1} .$

解答

解设

J = (O 1 I_{n - 1} O), f (x) = a_{1} + a_{2} x + a_{3} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n - 1},

则由例 2.14 可知 $A = f (J)$ 。经简单计算可得 $∣ λ I_{n} - J ∣ = λ^{n} - 1$ ，于是 $J$ 的特征值为

ω_{k} = cos \frac{2 k π}{n} + i sin \frac{2 k π}{n}, 0 \leq k \leq n - 1.

因此 $A$ 的特征值为 $f (1), f (ω_{1}), \dots, f (ω_{n - 1})$ 。 $□$

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