例 6.55

依赖于

无显式依赖

被以下题目直接调用

例 6.64

例 6.55

求证：复数域上 $n$ 阶循环矩阵
$A = a_{1} a_{n} ⋮ a_{2} a_{2} a_{1} ⋮ a_{3} a_{3} a_{2} ⋮ a_{4} \dots \dots \dots a_{n} a_{n - 1} ⋮ a_{1}$
可对角化，并求出它相似的对角矩阵及过渡矩阵。

解答

证明设

f (x) = a_{1} + a_{2} x + \dots + a_{n} x^{n - 1}, ω_{k} = cos \frac{2 k π}{n} + i sin \frac{2 k π}{n} (0 \leq k \leq n - 1),

则

a_{1} a_{n} ⋮ a_{2} a_{2} a_{1} ⋮ a_{3} a_{3} a_{2} ⋮ a_{4} \dots \dots \dots a_{n} a_{n - 1} ⋮ a_{1} 1 ω_{k} ⋮ ω_{k}^{n - 1} = f (ω_{k}) 1 ω_{k} ⋮ ω_{k}^{n - 1} .

这表明 $(1, ω_{k}, \dots, ω_{k}^{n - 1})^{'}$ 是 $A$ 的属于特征值 $f (ω_{k})$ 的特征向量。令

P = 11 ⋮ 1 1 ω_{1} ⋮ ω_{1}^{n - 1} \dots \dots \dots 1 ω_{n - 1} ⋮ ω_{n - 1}^{n - 1},

由 Vandermonde 行列式可知 $∣ P ∣ \neq = 0$ ，从而这 $n$ 个特征向量线性无关，因此 $A$ 可对角化，且有

P^{- 1} A P = diag {f (1), f (ω_{1}), \dots, f (ω_{n - 1})} .

$□$

群知识库

Explorer

例 6.55

例 6.55

依赖于

被以下题目直接调用

解答

评论

Graph View

目录

反向链接