例 4.11

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 6.63
• 例 6.64
• 例 9.60

例 4.11

设 $a_0,a_1,\cdots ,a_n$ 是数域 $F$ 中 $n+1$ 个不同的数，$b_0,b_1,\cdots ,b_n$ 是 $F$ 中任意 $n+1$ 个数，求证：必存在 $F$ 上次数不超过 $n$ 的多项式 $f(x)$，使得 $f(a_i)=b_i(0\le i\le n)$，并将 $f(x)$ 构造出来。

解答

证明 上题已证明映射 $\phi$ 是映上的，因此存在性已经证明。现来构造 $f(x)$。设 $e_i=(0,\cdots ,1,\cdots ,0)(1\le i\le n+1)$ 是 $F$ 上的 $n+1$ 维标准单位行向量。对任意的 $0\le i\le n$，令

$$f_i(x)=\frac{(x-a_0)\cdots (x-a_{i-1})(x-a_{i+1})\cdots (x-a_n)}{(a_i-a_0)\cdots (a_i-a_{i-1})(a_i-a_{i+1})\cdots (a_i-a_n)},$$

则 $f_i(a_i)=1,f_i(a_j)=0(j\ne i)$，于是 $\phi (f_i)=e_{i+1}(0\le i\le n)$。再令

$$f(x)=b_0{f}_0(x)+b_1{f}_1(x)+\cdots +b_n{f}_n(x),$$

则容易验证 $\phi (f)=(b_0,b_1,\cdots ,b_n)$，即 $f(a_i)=b_i(0\le i\le n)$ 成立。$\square$