例 9.60

依赖于

• 例 4.11

被以下题目直接调用

• 例 9.61
• 例 9.62

例 9.60

设 $B$ 是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，${\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_n$ 是 $B$ 的全体特征值， 证明：对任意给定的正整数 $k>1$，存在一个只和 ${\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_n$ 有关的实系数多项式 $f(x)$，满足：$B=f(B^k)$。

解答

证明 设 $Q$ 为正交矩阵，使得 $Q^{\prime }BQ=\mathrm{diag}\{{\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_n\}$，其中 ${\mu }_i\ge 0$。 设 ${\mu }_{i_1},{\mu }_{i_2},\cdots ,{\mu }_{i_s}$ 是 $B$ 的全体不同特征值， ${\lambda }_i={\mu }_i^k(1\le i\le n)$，则 ${\lambda }_i\ge 0$ 且 ${\lambda }_{i_1},{\lambda }_{i_2},\cdots ,{\lambda }_{i_s}$ 两两互异。作 Lagrange 插值多项式（参考例 4.11）：

$$f(x)=\sum _{j=1}^s{\mu }_{i_j}\frac{(x-{\lambda }_{i_1})\cdots (x-{\lambda }_{i_{j-1}})(x-{\lambda }_{i_{j+1}})\cdots (x-{\lambda }_{i_s})}{({\lambda }_{i_j}-{\lambda }_{i_1})\cdots ({\lambda }_{i_j}-{\lambda }_{i_{j-1}})({\lambda }_{i_j}-{\lambda }_{i_{j+1}})\cdots ({\lambda }_{i_j}-{\lambda }_{i_s})}.$$

显然 $f({\lambda }_{i_j})={\mu }_{i_j}(1\le j\le s)$，从而 $f({\lambda }_i)={\mu }_i(1\le i\le n)$，于是

$$\begin{array}{rl}\mathrm{diag}\{{\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_n\}& =\mathrm{diag}\{f({\lambda }_1),f({\lambda }_2),\cdots ,f({\lambda }_n)\}\\ & =f(\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}).\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{rl}B& =Q\mathrm{diag}\{{\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_n\}{Q}^{\prime }=Qf(\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\})Q^{\prime }\\ & =f(Q\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}{Q}^{\prime })\\ & =f((Q\mathrm{diag}\{{\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_n\}{Q}^{\prime }{)}^k)=f(B^k).\square \end{array}$$