例 6.63

依赖于

• 例 4.11

被以下题目直接调用

• 无

例 6.63

设 $A,B$ 是 $n$ 阶矩阵，$A$ 有 $n$ 个不同的特征值，并且 $AB=BA$，求证： 存在次数不超过 $n-1$ 的多项式 $f(x)$，使得 $B=f(A)$。

解答

证明 由上题可知 $A$ 和 $B$ 可以同时对角化，即存在可逆矩阵 $P$，使得

$$P^{-1}AP=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\},P^{-1}BP=\mathrm{diag}\{{\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_n\},$$

其中 ${\lambda }_i,{\mu }_i$ 分别是 $A,B$ 的特征值。因为 ${\lambda }_i$ 互不相同，故由 例 4.11（Lagrange 插值定理）可知，存在次数不超过 $n-1$ 的多项式 $f(x)$，使得 $f({\lambda }_i)={\mu }_i(1\le i\le n)$。于是

$$P^{-1}BP=\mathrm{diag}\{f({\lambda }_1),f({\lambda }_2),\cdots ,f({\lambda }_n)\}=f(P^{-1}AP)=P^{-1}f(A)P,$$

从而 $B=f(A)$。$\square$