例 8.75

依赖于

例 8.75

设
$M = (A B^{'} B D)$
为半正定实对称矩阵，求证： $r (A, B) = r (A)$ 。

证法 1 根据线性方程组的求解理论，要证明 $r (A, B) = r (A)$ ，只要证明线性方程组

(A B^{'}) x = 0

与 $A x = 0$ 同解即可。显然前面线性方程组的解是后面线性方程组的解，下面证明反之也成立。设 $A x_{0} = 0$ ，其中 $x_{0}$ 是实列向量，则有

(x_{0}^{'} 0) (A B^{'} B D) (x_{0} 0) = x_{0}^{'} A x_{0} = 0,

由例 8.71 可知

(A B^{'} B D) (x_{0} 0) = 0,

即有

(A B^{'}) x_{0} = 0

成立，从而结论得证。

证法 2 由 $M$ 的半正定性可得 $A$ 的半正定性，因此存在非异实矩阵 $C$ ，使得

C^{'} A C = (I_{r} O O O) .

考虑如下合同变换：

(C^{'} O O I) (A B^{'} B D) (C O O I) = (C^{'} A C B^{'} C C^{'} B D) = I_{r} O B_{1}^{'} O O B_{2}^{'} B_{1} B_{2} D .

由例 8.70 可知 $B_{2} = O$ 。对分块矩阵 $(A, B)$ 左乘 $C^{'}$ ，相当于实施初等行变换，再对左边的分块 $A$ 右乘 $C$ ，相当于实施初等列变换，注意到矩阵的秩在初等变换下不改变，故有

r (A, B) = r (C^{'} A C, C^{'} B) = r (I_{r} O O O B_{1} O) = r = r (A) .

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