例 8.71

依赖于

例 8.71

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，求证： $A$ 为半正定阵或半负定阵的充要条件是对任一满足 $α^{'} A α = 0$ 的 $n$ 维实列向量 $α$ ，均有 $A α = 0$ 。

证明先证必要性。若 $A$ 是半正定阵，则存在实矩阵 $C$ ，使得 $A = C^{'} C$ ，从而

0 = α^{'} A α = α^{'} C^{'} C α = (C α)^{'} (C α),

于是 $C α = 0$ ，因此 $A α = C^{'} (C α) = 0$ 。同理可证 $A$ 是半负定阵的情形。

再证充分性。用反证法，设 $A$ 既不是半正定阵，也不是半负定阵，则 $A$ 的正惯性指数 $p > 0$ ，负惯性指数 $q > 0$ 。设 $C$ 是非异实矩阵，使得

B = C^{'} A C = diag {I_{p}, - I_{q}, O}

为 $A$ 的合同标准型。令 $b_{1} = 1, b_{p + 1} = 1$ ，其他 $b_{i}$ 全为零，则 $β = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})^{'}$ 是非零列向量，并且满足 $β^{'} B β = 0$ ，但 $B β \neq = 0$ ，从而

α = C β = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})^{'}

也是非零列向量，并且满足 $α^{'} A α = 0$ ，但

A α = A C β = (C^{'})^{- 1} B β \neq = 0,

这就推出了矛盾。 $□$