例 8.74

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• 例 8.71

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• 第 8 章解答题 5

例 8.74

设 $A$ 为 $n$ 阶半正定实对称矩阵，$f(x)=x^{\prime }Ax$ 是相伴的半正定实二次型。设 $\mathrm{Ker}f(x)=\{\alpha \in {\mathbb{R}}^n\mid f(\alpha )={\alpha }^{\prime }A\alpha =0\}$ 作为实线性空间的维数等于 $d$，求证：$f(x)$ 的规范标准形为 $y_1^2+y_2^2+\cdots +y_{n-d}^2$。

解答

证明 由例 8.71 可知 $\mathrm{Ker}f(x)$ 等于齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解空间，故由 $\dim \mathrm{Ker}f(x)=d$ 和线性方程组的求解理论可知 $r(A)=n-d$，于是半正定型 $f(x)$ 的正惯性指数等于 $n-d$，从而结论得证。$\square$