第 8 章解答题 5

依赖于

• 例 8.74
• 例 8.34
• 例 8.13

被以下题目直接调用

• 无

第 8 章解答题 5

化下列实二次型为标准型：

$$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=n\sum _{i=1}^n{x}_i^2-{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^2.$$

解答

解法 1 将二次型 $f$ 配方为

$$\sum _{1\le i<j\le n}(x_i-x_j{)}^2,$$

因此 $f$ 半正定。又

$$\mathrm{Ker}f(x)=\{(c,c,\cdots ,c)\mid c\in \mathbb{R}\}$$

的维数等于 1，故由例 8.74 可知，$f$ 的规范标准型为 $y_1^2+y_2^2+\cdots +y_{n-1}^2$。 解法 2 二次型 $f$ 的系数矩阵为 $nA$，其中 $A$ 是例 8.34 解法 2 中的矩阵。根据例 8.34 解法 2 中 $A$ 的顺序主子式的计算以及例 8.13 可知，其规范标准型为 $y_1^2+y_2^2+\cdots +y_{n-1}^2$。