例 8.13

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• 无显式依赖

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• 例 8.42
• 第 8 章解答题 5

例 8.13

设 $f(x)=x^{\prime }Ax$ 是实二次型，相伴矩阵 $A$ 的前 $n-1$ 个顺序主子式 $P_1,\cdots ,P_{n-1}$ 非零，求证：经过可逆线性变换 $f$ 可化为下列标准型：

$$f=P_1{y}_1^2+\frac{P_2}{P_1}{y}_2^2+\cdots +\frac{P_n}{P_{n-1}}{y}_n^2,$$

其中 $P_n=|A|$。

解答

证明 对 $n$ 用归纳法。当 $n=1$ 时结论显然成立，假设结论对 $n-1$ 成立。设

$$A=\left(\begin{array}{cc}{A}_{n-1}& \alpha \\ {\alpha }^{\prime }& a_{nn}\end{array}\right),$$

由于 $|A_{n-1}|=P_{n-1}\ne 0$，故可对 $A$ 进行下列对称分块初等变换：

$$\begin{array}{rl}A& =\left(\begin{array}{cc}{A}_{n-1}& \alpha \\ {\alpha }^{\prime }& a_{nn}\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}{A}_{n-1}& \alpha \\ O& a_{nn}-{\alpha }^{\prime }{A}_{n-1}^{-1}\alpha \end{array}\right)\\ & ⟶\left(\begin{array}{cc}{A}_{n-1}& O\\ O& a_{nn}-{\alpha }^{\prime }{A}_{n-1}^{-1}\alpha \end{array}\right)=B,\end{array}$$

显然这是一个合同变换。又因为第三类分块初等变换不改变行列式的值，故

$$|A|=|A_{n-1}|(a_{nn}-{\alpha }^{\prime }{A}_{n-1}^{-1}\alpha ),$$

即

$$a_{nn}-{\alpha }^{\prime }{A}_{n-1}^{-1}\alpha =\frac{P_n}{P_{n-1}}.$$

由归纳假设，存在可逆矩阵 $M$，使得

$$M^{\prime }{A}_{n-1}M=\mathrm{diag}\left\{P_1,\frac{P_2}{P_1},\cdots ,\frac{P_{n-1}}{P_{n-2}}\right\}.$$

作矩阵

$$C=\left(\begin{array}{cc}M& O\\ O& 1\end{array}\right),$$

则

$$C^{\prime }BC=\mathrm{diag}\left\{P_1,\frac{P_2}{P_1},\cdots ,\frac{P_n}{P_{n-1}}\right\}.\square$$