例 8.42

依赖于

• 第 1 章解答题 13
• 例 8.13
• 第 1 章解答题 14

被以下题目直接调用

• 无

例 8.42

求下列实二次型的标准型：

(1) $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)={\sum }_{i,j=1}^n\max \{i,j\}{x}_i{x}_j$；

(2) $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)={\sum }_{i,j=1}^n|i-j|x_i{x}_j$。

解答

解 (1) $f$ 的系数矩阵是 $A=(a_{ij})$，其中 $a_{ij}=\max \{i,j\}$。由第 1 章解答题 13 可知，$A$ 的第 $k$ 个顺序主子式 $|A_k|=(-1{)}^{k-1}k(1\le k\le n)$， 再由例 8.13 可知，$f$ 的规范标准型为 $y_1^2-y_2^2-\cdots -y_n^2$。

(2) $f$ 的系数矩阵是 $A=(a_{ij})$，其中 $a_{ij}=|i-j|$。由于 $a_{11}=0$， 故先做对称初等变换：将 $A$ 的第二行加到第一行上，再将第二列加到第一列上，得到的矩阵记为 $B=(b_{ij})$，其中 $b_{11}=2$，即 $|B_1|=2$。由于第二类初等变换不改变行列式的值， 故由第 1 章解答题 14 可知，$B$ 的第 $k$ 个顺序主子式 $|B_k|=(-1{)}^{k-1}(k-1)2^{k-2}(2\le k\le n)$， 再由例 8.13 可知，$f$ 的规范标准型为 $y_1^2-y_2^2-\cdots -y_n^2$。$\square$