第 1 章解答题 14

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• 例 8.42

第 1 章解答题 14

设 $|A|$ 是 $n$ 阶行列式，$|A|$ 的第 $(i,j)$ 元素 $a_{ij}=|i-j|$，试求 $|A|$ 的值。

解答

写出行列式为

$$\left|\begin{array}{ccccc}0& 1& 2& \cdots & n-1\\ 1& 0& 1& \cdots & n-2\\ 2& 1& 0& \cdots & n-3\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ n-1& n-2& n-3& \cdots & 0\end{array}\right|.$$

从最后一列起每一列减去前一列，再将得到的行列式的最后一行加到前面的每一行上去，就可以得到一个下三角行列式，求得值为 $(-1{)}^{n-1}(n-1)2^{n-2}$。