例 8.34

依赖于

• 例 8.33

被以下题目直接调用

• 第 8 章解答题 5

例 8.34

化下列实二次型为标准型：

$$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\sum _{i=1}^n(x_i-s{)}^2,s=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots +x_n).$$

解答

解 作线性变换：$y_i=x_i-s(1\le i\le n-1),y_n=x_n$，容易验证这是一个可逆线性变换且 $s=y_1+y_2+\cdots +y_n$。由此可得

$$f=y_1^2+y_2^2+\cdots +y_{n-1}^2+(y_1+y_2+\cdots +y_{n-1}{)}^2,$$

进一步可化为

$$f=2\left(\sum _{i=1}^{n-1}{y}_i^2+\sum _{1\le i<j\le n-1}{y}_i{y}_j\right).$$

再由例 8.33 即得

$$f=2z_1^2+\frac{3}{2}{z}_2^2+\cdots +\frac{n}{n-1}{z}_{n-1}^2.$$