例 8.78

依赖于

• 例 8.75

被以下题目直接调用

• 例 9.13

例 8.78

证明下列关于 $n$ 阶实对称矩阵 $A=(a_{ij})$ 的命题等价：

(1) $A$ 是半正定阵；

(2) 存在主对角元全等于 $1$ 的上三角矩阵 $B$ 和主对角元全为非负实数的对角矩阵 $D$， 使得 $A=B^{\prime }DB$；

(3) 存在主对角元全为非负实数的上三角矩阵 $C$，使得 $A=C^{\prime }C$。

解答

证明 (1) $\Rightarrow$ (2)：只要证明存在主对角元全为 1 的上三角矩阵 $T$，使得 $T^{\prime }AT=D$ 是半正定对角矩阵即可。因为一旦得证，$B=T^{-1}$ 也是主对角元全为 1 的上三角矩阵， 并且 $A=B^{\prime }DB$。对阶数 $n$ 进行归纳，当 $n=1$ 时结论显然成立。假设对 $n-1$ 阶半正定阵结论成立， 现证明 $n$ 阶半正定阵的情形。设

$$A=\left(\begin{array}{cc}{A}_{n-1}& \alpha \\ {\alpha }^{\prime }& a_{nn}\end{array}\right),$$

其中 $A_{n-1}$ 是 $n-1$ 阶矩阵，$\alpha$ 是 $n-1$ 维列向量。因为 $A$ 半正定，所以 $A_{n-1}$ 是 $n-1$ 阶半正定阵，并且由例 8.75 可得 $r(A_{n-1},\alpha )=r(A_{n-1})$， 故由线性方程组的求解理论可知，存在 $n-1$ 维列向量 $\beta$，使得 $A_{n-1}\beta =\alpha$。 考虑如下对称分块初等变换：

$$\left(\begin{array}{cc}{I}_{n-1}& O\\ -{\beta }^{\prime }& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{A}_{n-1}& \alpha \\ {\alpha }^{\prime }& a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{I}_{n-1}& -\beta \\ O& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{A}_{n-1}& O\\ O& a_{nn}-{\beta }^{\prime }{A}_{n-1}\beta \end{array}\right),$$

由 $A$ 的半正定性可得 $a_{nn}-{\beta }^{\prime }{A}_{n-1}\beta \ge 0$。再由归纳假设，存在主对角元全为 1 的 $n-1$ 阶上三角矩阵 $T_{n-1}$，使得 $T_{n-1}^{\prime }{A}_{n-1}{T}_{n-1}=D_{n-1}$ 是 $n-1$ 阶半正定对角矩阵。 令

$$T=\left(\begin{array}{cc}{I}_{n-1}& -\beta \\ O& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{T}_{n-1}& O\\ O& 1\end{array}\right),$$

则 $T$ 是一个主对角元全为 1 的 $n$ 阶上三角矩阵，使得

$$T^{\prime }AT=\left(\begin{array}{cc}{D}_{n-1}& O\\ O& a_{nn}-{\beta }^{\prime }{A}_{n-1}\beta \end{array}\right)$$

是 $n$ 阶半正定对角矩阵。

(2) $\Rightarrow$ (3)：设 $D=\mathrm{diag}\{d_1,d_2,\cdots ,d_n\}$，令 $s_i=\sqrt{d_i}\ge 0$，

$$S=\mathrm{diag}\{s_1,s_2,\cdots ,s_n\}.$$

设 $C=SB$，则 $A=C^{\prime }C$。显然 $C=SB$ 是主对角元全为非负实数的上三角矩阵。

(3) $\Rightarrow$ (1)：由 $A=C^{\prime }C$ 可知 $A$ 为半正定阵。$\square$