例 9.73

依赖于

• 例 8.75

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• 无

例 9.73

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，证明：$AB$ 可对角化。

解答

证明 设 $C$ 为非异实矩阵，使得 $C^{\prime }AC=\mathrm{diag}\{I_r,O\}$，则 $AB$ 相似于

$$C^{\prime }AB(C^{\prime }{)}^{-1}=(C^{\prime }AC)(C^{-1}B(C^{-1}{)}^{\prime }).$$

注意到 $C^{-1}B(C^{-1}{)}^{\prime }$ 仍然是半正定阵，故不妨从一开始就假设 $A$ 是合同标准型 $\mathrm{diag}\{I_r,O\}$。设

$$B=\left(\begin{array}{cc}{B}_{11}& B_{12}\\ B_{21}& B_{22}\end{array}\right)$$

为对应的分块，则

$$AB=\left(\begin{array}{cc}{B}_{11}& B_{12}\\ O& O\end{array}\right).$$

因为 $B$ 半正定，故由例 8.75 可得 $r(B_{11};B_{12})=r(B_{11})$，于是存在实矩阵 $M$，使得 $B_{12}=B_{11}M$。考虑如下相似变换：

$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{cc}I& M\\ O& I\end{array}\right)AB\left(\begin{array}{cc}I& -M\\ O& I\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}I& M\\ O& I\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{B}_{11}& B_{12}\\ O& O\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I& -M\\ O& I\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{B}_{11}& O\\ O& O\end{array}\right),\end{array}$$

于是 $AB$ 相似于 $\mathrm{diag}\{B_{11},O\}$，这是一个实对称矩阵，从而 $AB$ 可对角化。$\square$