例 6.74

依赖于

• 例 6.21
• 例 6.66
• 例 6.73

被以下题目直接调用

• 例 6.82

例 6.74

设 $n(n>1)$ 阶矩阵 $A$ 的秩为 1，求证：$A$ 可对角化的充要条件是 $\mathrm{tr}(A)\ne 0$。

解答

证明 由 $r(A)=1$ 可知，存在非零列向量 $\alpha ,\beta$，使得 $A=\alpha {\beta }^{\prime }$， 于是由迹的交换性可得

$$\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(\alpha {\beta }^{\prime })=\mathrm{tr}({\beta }^{\prime }\alpha )={\beta }^{\prime }\alpha .$$

证法 1 由例 6.21 及其可对角化的讨论可知本题结论成立。

证法 2 注意到

$$A^2=(\alpha {\beta }^{\prime })(\alpha {\beta }^{\prime })=\alpha ({\beta }^{\prime }\alpha ){\beta }^{\prime }=({\beta }^{\prime }\alpha )\alpha {\beta }^{\prime }=\mathrm{tr}(A)A,$$

故 $A$ 适合多项式 $x^2-\mathrm{tr}(A)x$。若 $\mathrm{tr}(A)\ne 0$，则由 例 6.66 可知 $A$ 可对角化；若 $\mathrm{tr}(A)=0$，则 $A$ 是幂零矩阵，又 $A\ne O$，故由例 6.73 (1) 可知 $A$ 不可对角化。$\square$