例 6.66

依赖于

例 6.66

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 适合首一多项式 $g (x)$ ，并且 $g (x)$ 在复数域中无重根，证明： $A$ 可对角化。

证明设

g (x) = (x - a_{1}) (x - a_{2}) \dots (x - a_{m})

是复数域上的因式分解，其中 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ 是互异的复数。我们先来证明：

C^{n} = Ker (A - a_{1} I_{n}) \oplus Ker (A - a_{2} I_{n}) \oplus \dots \oplus Ker (A - a_{m} I_{n}) . (6.5)

设 $g_{i} (x) = \prod_{j \neq = i} (x - a_{j})$ ，则 $(g_{1} (x), g_{2} (x), \dots, g_{m} (x)) = 1$ ，故存在 $u_{i} (x) (1 \leq i \leq m)$ ，使得

g_{1} (x) u_{1} (x) + g_{2} (x) u_{2} (x) + \dots + g_{m} (x) u_{m} (x) = 1.

代入 $x = A$ ，可得恒等式

g_{1} (A) u_{1} (A) + g_{2} (A) u_{2} (A) + \dots + g_{m} (A) u_{m} (A) = I_{n} . (6.6)

对任一 $α \in C^{n}$ ，由上式可知

α = i = 1 \sum m g_{i} (A) u_{i} (A) α .

注意到

(A - a_{i} I_{n}) g_{i} (A) u_{i} (A) α = g (A) u_{i} (A) α = 0,

故 $g_{i} (A) u_{i} (A) α \in Ker (A - a_{i} I_{n})$ ，于是

C^{n} = Ker (A - a_{1} I_{n}) + Ker (A - a_{2} I_{n}) + \dots + Ker (A - a_{m} I_{n}) . (6.7)

任取

α \in Ker (A - a_{1} I_{n}) \cap (Ker (A - a_{2} I_{n}) + \dots + Ker (A - a_{m} I_{n}))

，则 $α = α_{2} + \dots + α_{m}$ ，其中 $α_{i} \in Ker (A - a_{i} I_{n}) (i \geq 2)$ 。由 (6.6) 式可知

α = u_{1} (A) g_{1} (A) (α_{2} + \dots + α_{m}) + u_{2} (A) g_{2} (A) α + \dots + u_{m} (A) g_{m} (A) α = 0.

注意到下指标可任意选，故 (6.7) 式是直和。

由于 $A$ 适合 $g (x)$ ，故 $A$ 的特征值也适合 $g (x)$ ，从而只可能是 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ 中的一部分。在 (6.5) 式中剔除等于零的直和分量，这就证明了全空间等于特征子空间的直和，从而 $A$ 可对角化。 $□$