例 6.82

依赖于

• 例 6.74

被以下题目直接调用

• 例 7.47

例 6.82

设 $n(n>1)$ 阶矩阵 $A$ 的秩为 1，求证：$A$ 的极小多项式为 $x^2-\mathrm{tr}(A)x$。

解答

证明 由例 6.74 可知，$A$ 适合多项式 $x^2-\mathrm{tr}(A)x$。显然 $A$ 不可能适合多项式 $x$。若 $A$ 适合多项式 $x-\mathrm{tr}(A)$，则 $A=\mathrm{tr}(A)I_n$ 为纯量矩阵， 其秩等于 0 或 $n$，这与 $r(A)=1$ 矛盾。因此，$A$ 的极小多项式为 $x^2-\mathrm{tr}(A)x$。$\square$