例 7.47

依赖于

• 例 6.19
• 例 6.82

被以下题目直接调用

• 例 7.48

例 7.47

设 $n(n>1)$ 阶矩阵 $A$ 的秩为 $1$，试求 $A$ 的 Jordan 标准型。

解答

解法 1 由 $r(A)=1$ 可知，存在非零列向量 $\alpha ,\beta$，使得 $A=\alpha {\beta }^{\prime }$。由例 6.19 可得 $|\lambda I_n-A|={\lambda }^{n-1}(\lambda -{\beta }^{\prime }\alpha )$，再由所有特征值之和等于矩阵的迹可得 $\mathrm{tr}(A)={\beta }^{\prime }\alpha$。若 $\mathrm{tr}(A)\ne 0$，则特征值 $\mathrm{tr}(A)$ 的几何重数等于 $1$，特征值 $0$ 的几何重数等于 $n-r(A)=n-1$，因此 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\mathrm{diag}\{0,\cdots ,0,\mathrm{tr}(A)\}$。若 $\mathrm{tr}(A)=0$，则特征值 $0$ 的代数重数是 $n$，几何重数是 $n-1$， 因此 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\mathrm{diag}\{0,\cdots ,0,J_2(0)\}$。

解法 2 特征多项式的计算同解法 1，又由例 6.82 可知，$A$ 的极小多项式 $m(\lambda )=\lambda (\lambda -\mathrm{tr}(A))$，于是 $A$ 的不变因子组为 $1,\lambda ,\cdots ,\lambda ,m(\lambda )$。若 $\mathrm{tr}(A)\ne 0$，则 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\mathrm{diag}\{0,\cdots ,0,\mathrm{tr}(A)\}$。 若 $\mathrm{tr}(A)=0$，则 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\mathrm{diag}\{0,\cdots ,0,J_2(0)\}$。

解法 3 直接利用 Jordan 标准型来解最为简单。设 $A$ 的 Jordan 标准型 $J=\mathrm{diag}\{J_{r_1}(0),\cdots ,J_{r_k}(0),J_{s_1}({\lambda }_1),\cdots ,J_{s_l}({\lambda }_l)\}$， 其中 ${\lambda }_j\ne 0(1\le j\le l)$。由于相似关系不改变矩阵的秩，故 $J$ 的秩也为 $1$， 即有

$$(r_1-1)+\cdots +(r_k-1)+s_1+\cdots +s_l=1.$$

于是只有以下两种情况成立：第一种情况是 $l=1,s_1=1,{\lambda }_1=\mathrm{tr}(A)\ne 0$，且所有的 $r_i=1$，此时 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\mathrm{diag}\{0,\cdots ,0,\mathrm{tr}(A)\}$。 第二种情况是某个 $r_i=2$，其余的 $r_i=1$ 且 $l=0$，此时 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\mathrm{diag}\{0,\cdots ,0,J_2(0)\}$。$\square$