例 6.21

依赖于

• 例 6.19

被以下题目直接调用

• 例 6.74

例 6.21

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\alpha ,\beta$ 为 $n$ 维列向量，试求矩阵 $A\alpha {\beta }^{\prime }$ 的特征值。

解答

解 设 $B=A\alpha {\beta }^{\prime }$，则由例 6.19 可得

$$|\lambda I_n-B|=|\lambda I_n-(A\alpha ){\beta }^{\prime }|={\lambda }^{n-1}(\lambda -{\beta }^{\prime }A\alpha ).$$

若 ${\beta }^{\prime }A\alpha \ne 0$，则 $B$ 的特征值为 $0$（$n-1$ 重），${\beta }^{\prime }A\alpha$（$1$ 重）； 若 ${\beta }^{\prime }A\alpha =0$，则 $B$ 的特征值为 $0$（$n$ 重）。$\square$