例 6.73

依赖于

• 例 6.12

被以下题目直接调用

• 例 6.74
• 第 7 章选择题 7

例 6.73

求证： (1) 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值都是 ${\lambda }_0$，但 $A$ 不是纯量矩阵，则 $A$ 不可 对角化。特别地，非零的幂零矩阵不可对角化。 (2) 若 $n$ 阶实矩阵 $A$ 适合 $A^2+A+I_n=O$，则 $A$ 在实数域上不可对角化。

解答

证明 (1) 用反证法，设 $A$ 可对角化，则存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=\Lambda$ 为对角矩阵。 由假设 $\Lambda$ 的主对角元素全为 ${\lambda }_0$，故 $\Lambda ={\lambda }_0{I}_n$，于是 $A=P({\lambda }_0{I}_n)P^{-1}={\lambda }_0{I}_n$，这与假设矛盾。

(2) 用反证法，设 $A$ 在实数域上可对角化，则 $A$ 的特征值都是实数。因为 $A$ 适合多项式 $x^2+x+1$，故由例 6.12 可知，$A$ 的特征值也适合 $x^2+x+1$，从而不可能是实数，矛盾。 $\square$