例 6.19

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• 例 3.95
• 例 6.20
• 例 6.21
• 例 6.22
• 例 6.72
• 第 6 章填空题 8
• 第 6 章填空题 9
• 例 7.47
• 例 9.64

例 6.19

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times m$ 矩阵，且 $m\ge n$。求证：

$$|\lambda I_m-AB|={\lambda }^{m-n}|\lambda I_n-BA|.$$

特别地，若 $A,B$ 都是 $n$ 阶矩阵，则 $AB$ 与 $BA$ 有相同的特征多项式。

解答

证法 1 当 $\lambda \ne 0$ 时，考虑下列分块矩阵：

$$\left(\begin{array}{cc}\lambda I_m& A\\ B& I_n\end{array}\right),$$

因为 $\lambda I_m,I_n$ 都是可逆矩阵，故由行列式的降阶公式可得

$$|I_n||\lambda I_m-A(I_n{)}^{-1}B|=|\lambda I_m||I_n-B(\lambda I_m{)}^{-1}A|,$$

即有 $|\lambda I_m-AB|={\lambda }^{m-n}|\lambda I_n-BA|$ 成立。

当 $\lambda =0$ 时，若 $m>n$，则 $r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}\le \min \{m,n\}=n<m$， 故 $|-AB|=0$，结论成立；若 $m=n$，则 $|-AB|=(-1{)}^n|A||B|=|-BA|$，结论也成立。 事实上，$\lambda =0$ 的情形也可以用 Cauchy-Binet 公式来处理，还可以通过摄动法由 $\lambda \ne 0$ 的情形来得到。

证法 2 设 $A$ 的秩等于 $r$，则存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ 和 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$，使得

$$PAQ=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right).$$

令

$$Q^{-1}B{P}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{B}_{11}& B_{12}\\ B_{21}& B_{22}\end{array}\right),$$

其中 $B_{11}$ 是 $r\times r$ 矩阵，则

$$PAB{P}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{B}_{11}& B_{12}\\ O& O\end{array}\right),Q^{-1}BAQ=\left(\begin{array}{cc}{B}_{11}& O\\ B_{21}& O\end{array}\right).$$

因此

$$|\lambda I_m-AB|=\left|\begin{array}{cc}\lambda I_r-B_{11}& -B_{12}\\ O& \lambda I_{m-r}\end{array}\right|={\lambda }^{m-r}|\lambda I_r-B_{11}|.$$

同理

$$|\lambda I_n-BA|=\left|\begin{array}{cc}\lambda I_r-B_{11}& O\\ -B_{21}& \lambda I_{n-r}\end{array}\right|={\lambda }^{n-r}|\lambda I_r-B_{11}|.$$

比较上面两个式子即可得到结论。

证法 3 先证明 $m=n$ 的情形。若 $A$ 可逆，则 $BA=A^{-1}(AB)A$，即 $AB$ 和 $BA$ 相似，因此它们的特征多项式相等。 对于一般的方阵 $A$，可取到一列有理数 $t_k\to 0$，使得 $t_k{I}_n+A$ 是可逆矩阵。由可逆情形的证明可得

$$|\lambda I_n-(t_k{I}_n+A)B|=|\lambda I_n-B(t_k{I}_n+A)|.$$

注意到上式两边的行列式都是 $t_k$ 的多项式，从而关于 $t_k$ 连续。上式两边同时取极限，令 $t_k\to 0$，即有 $|\lambda I_n-AB|=|\lambda I_n-BA|$ 成立。

再证明 $m>n$ 的情形。令

$$C=(AO),D=\left(\begin{array}{c}B\\ O\end{array}\right),$$

其中 $C,D$ 均为 $m\times m$ 分块矩阵，则

$$CD=AB,DC=\left(\begin{array}{cc}BA& O\\ O& O\end{array}\right).$$

因此由方阵的情形可得

$$\begin{array}{rl}|\lambda I_m-AB|& =|\lambda I_m-CD|=|\lambda I_m-DC|\\ & =\left|\begin{array}{cc}\lambda I_n-BA& O\\ O& \lambda I_{m-n}\end{array}\right|={\lambda }^{m-n}|\lambda I_n-BA|.\end{array}$$

$\square$