例 6.22

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例 6.19

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例 6.22

设 $a_{i} (1 \leq i \leq n)$ 都是实数，且 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 0$ ，试求下列矩阵的特征值：
$A = a_{1}^{2} a_{2} a_{1} + 1 ⋮ a_{n} a_{1} + 1 a_{1} a_{2} + 1 a_{2}^{2} ⋮ a_{n} a_{2} + 1 \dots \dots \dots a_{1} a_{n} + 1 a_{2} a_{n} + 1 ⋮ a_{n}^{2} .$

解答

解矩阵 $A$ 可以分解为 $A = - I_{n} + B C$ ，其中

B = a_{1} a_{2} ⋮ a_{n} 11 ⋮ 1, C = (a_{1} 1 a_{2} 1 \dots \dots a_{n} 1) .

由例 6.19 可得

∣ λ I_{n} - A ∣ = ∣ (λ + 1) I_{n} - B C ∣ = (λ + 1)^{n - 2} ∣ (λ + 1) I_{2} - C B ∣.

注意到 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 0$ ，故有

C B = (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2} 0 0 n),

因此 $A$ 的特征值为 $- 1$ （ $n - 2$ 重）， $n - 1$ ， $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2} - 1$ 。 $□$

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