例 7.95

依赖于

• 例 7.94
• 例 7.10

被以下题目直接调用

• 例 7.96
• 例 7.97

例 7.95

设 $A$ 是 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵，它在 $K$ 上的初等因子组为 $P_1(\lambda {)}^{e_1},P_2(\lambda {)}^{e_2},\cdots ,P_t(\lambda {)}^{e_t}$，其中 $P_i(\lambda )$ 是 $K$ 上的首一不可约多项式，$e_i\ge 1,1\le i\le t$，证明 $A$ 在 $K$ 上相似于下列分块对角矩阵：

$$(1)J=\mathrm{diag}\{J_{e_1}(P_1(\lambda )),J_{e_2}(P_2(\lambda )),\cdots ,J_{e_t}(P_t(\lambda ))\};$$ $$(2)\tilde{J}=\mathrm{diag}\{{\tilde{J}}_{e_1}(P_1(\lambda )),{\tilde{J}}_{e_2}(P_2(\lambda )),\cdots ,{\tilde{J}}_{e_t}(P_t(\lambda ))\}.$$

解答

证明 将 $\lambda I-J$ 和 $\lambda I-\tilde{J}$ 按照每个分块依次进行 $\lambda$-矩阵的初等变换， 由例 7.94 可知，上述两个矩阵都相抵于

$$\mathrm{diag}\{1,\cdots ,1,P_1(\lambda {)}^{e_1};1,\cdots ,1,P_2(\lambda {)}^{e_2};\cdots ;1,\cdots ,1,P_t(\lambda {)}^{e_t}\}.$$

由例 7.10 可知，$J$ 和 $\tilde{J}$ 的初等因子组都是 $P_1(\lambda {)}^{e_1},P_2(\lambda {)}^{e_2},\cdots ,P_t(\lambda {)}^{e_t}$， 即它们与 $A$ 在 $K$ 上有相同的初等因子组，因此它们与 $A$ 在 $K$ 上相似。$\square$