例 7.94

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例 6.84

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例 7.95

例 7.94

设 $P (λ) = λ^{m} + a_{1} λ^{m - 1} + \dots + a_{m - 1} λ + a_{m}$ 是 $K$ 上的首一不可约多项式， $e$ 是正整数，证明下列矩阵的不变因子组均为 $1, \dots, 1, P (λ)^{e}$ ：
$J_{e} (P (λ)) = F (P (λ)) O ⋮ O O I_{m} F (P (λ)) ⋮ O O O I_{m} ⋮ O O \dots \dots \dots \dots O O ⋮ F (P (λ)) O O O ⋮ I_{m} F (P (λ)); (1)$ $J_{e} (P (λ)) = F (P (λ)) O ⋮ O O C_{m} F (P (λ)) ⋮ O O O C_{m} ⋮ O O \dots \dots \dots \dots O O ⋮ F (P (λ)) O O O ⋮ C_{m} F (P (λ)) . (2)$

解答

证明 (1) 由有理标准型理论可知， $F (P (λ))$ 的特征多项式和极小多项式都是 $P (λ)$ ，故 $J_{e} (P (λ))$ 的特征多项式为 $P (λ)^{e}$ ，从而 $J_{e} (P (λ))$ 的极小多项式为 $P (λ)^{l}$ ，其中 $1 \leq l \leq e$ 。下面验证 $J_{e} (P (λ))$ 不适合 $P (λ)^{e - 1}$ ，从而 $J_{e} (P (λ))$ 的极小多项式必为 $P (λ)^{e}$ 。以下简记 $g (λ) = P (λ)^{e - 1}, F = F (P (λ))$ ，则通过分块矩阵的计算可得

g (J_{e} (P (λ))) = g (F) \frac{1}{1 !} g^{'} (F) g (F) \frac{1}{2 !} g^{(2)} (F) \frac{1}{1 !} g^{'} (F) g (F) \dots \dots \dots ⋱ \frac{1}{( e - 1 )!} g^{(e - 1)} (F) \frac{1}{( e - 2 )!} g^{(e - 2)} (F) \frac{1}{( e - 3 )!} g^{(e - 3)} (F) ⋮ g (F) .

由 Cayley-Hamilton 定理可得 $P (F) = O$ ，从而 $g^{(i)} (F) = O (0 \leq i \leq e - 2)$ ，但 $g^{(e - 1)} (F) = (e - 1)! P^{'} (F)^{e - 1}$ 。由于 $P (λ)$ 是不可约多项式，故 $(P (λ), P^{'} (λ)) = 1$ ，进一步有 $(P (λ), P^{'} (λ)^{e - 1}) = 1$ ，从而由例 6.84 可知， $P^{'} (F)^{e - 1}$ 是可逆矩阵，于是

\frac{1}{( e - 1 )!} g^{(e - 1)} (F) = P^{'} (F)^{e - 1} \neq = O,

即有 $g (J_{e} (P (λ))) \neq = O$ 。因此 $J_{e} (P (λ))$ 的极小多项式为 $P (λ)^{e}$ ，其不变因子组为 $1, \dots, 1, P (λ)^{e}$ 。

(2) 我们来计算 $J_{e} (P (λ))$ 的 $m e - 1$ 阶行列式因子，注意到特征矩阵 $λ I - J_{e} (P (λ))$ 的前 $m e - 1$ 行、后 $m e - 1$ 列构成的 $m e - 1$ 阶子式是一个主对角元全为 $- 1$ 的下三角行列式，其值为 $(- 1)^{m e - 1}$ ，故 $J_{e} (P (λ))$ 的 $m e - 1$ 阶行列式因子为 1。又 $J_{e} (P (λ))$ 的 $m e$ 阶行列式因子为 $P (λ)^{e}$ ，故其行列式因子组为 $1, \dots, 1, P (λ)^{e}$ ，从而不变因子组也为 $1, \dots, 1, P (λ)^{e}$ 。 $□$

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