例 7.97

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例 7.97

设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵，证明存在 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵 $B, C$ ，使得 $A = B + C$ ，且满足：

(1) $B$ 在复数域上可对角化； (2) $C$ 是幂零矩阵； (3) $B C = C B$ ，

并且满足上述条件的分解一定是唯一的。

解答

证明设 $A$ 在 $K$ 上的初等因子组为 $P_{1} (λ)^{e_{1}}, P_{2} (λ)^{e_{2}}, \dots, P_{t} (λ)^{e_{t}}$ ，其中 $P_{i} (λ)$ 是 $K$ 上的首一不可约多项式， $e_{i} \geq 1, 1 \leq i \leq t$ 。由例 7.95 可知，存在 $K$ 上的可逆矩阵 $P$ ，使得

P^{- 1} A P = J = diag {J_{e_{1}} (P_{1} (λ)), J_{e_{2}} (P_{2} (λ)), \dots, J_{e_{t}} (P_{t} (λ))} .

我们先对广义 Jordan 块 $J_{e_{i}} (P_{i} (λ))$ 来证明结论，为方便起见，记 $F_{i} = F (P_{i} (λ))$ 。由于 $P_{i} (λ)$ 在 $K$ 上不可约，故 $(P_{i} (λ), P_{i}^{'} (λ)) = 1$ ，从而 $P_{i} (λ)$ 在复数域上无重根，于是 $F_{i}$ 在复数域上可对角化。令

M_{i} = F_{i} O ⋮ O O O F_{i} ⋮ O O O O ⋮ O O \dots \dots \dots \dots O O ⋮ F_{i} O O O ⋮ O F_{i}, N_{i} = O O ⋮ O O I O ⋮ O O O I ⋮ O O \dots \dots \dots \dots O O ⋮ O O O O ⋮ I O,

则容易验证 $J_{e_{i}} (P_{i} (λ)) = M_{i} + N_{i}$ ， $M_{i}$ 复可对角化， $N_{i}$ 幂零， $M_{i} N_{i} = N_{i} M_{i}$ 。再令 $M = diag {M_{1}, \dots, M_{t}}$ ， $N = diag {N_{1}, \dots, N_{t}}$ ，则 $J = M + N$ ， $M$ 复可对角化， $N$ 幂零， $M N = N M$ 。最后令 $B = P M P^{- 1}, C = P N P^{- 1}$ ，则 $B, C$ 是 $K$ 上的矩阵， $A = B + C$ ， $B$ 复可对角化， $C$ 幂零， $B C = C B$ 。我们也可将 $A, B, C$ 看成是复数域上的矩阵，由复数域上的 Jordan-Chevalley 分解定理（参考例 7.33）的唯一性可知，满足上述条件的分解一定是唯一的。 $□$

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