例 7.96

依赖于

• 例 7.95
• 例 7.10

被以下题目直接调用

• 无

例 7.96

设 $A$ 是实数域上的 $n$ 阶矩阵，证明 $A$ 在实数域上相似于下列分块对角矩阵：

$$(1)J=\mathrm{diag}\{J_{r_1}({\lambda }_1),\cdots ,J_{r_k}({\lambda }_k),J_{s_1}(a_1,b_1),\cdots ,J_{s_l}(a_l,b_l)\};$$ $$(2)\tilde{J}=\mathrm{diag}\{J_{r_1}({\lambda }_1),\cdots ,J_{r_k}({\lambda }_k),{\tilde{J}}_{s_1}(a_1,b_1),\cdots ,{\tilde{J}}_{s_l}(a_l,b_l)\},$$

其中 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_k,a_1,b_1,\cdots ,a_l,b_l$ 都是实数， $b_1,\cdots ,b_l$ 都非零，$J_{r_i}({\lambda }_i)$ 表示以 ${\lambda }_i$ 为特征值的通常意义下的 Jordan 块，

$$R_j=\left(\begin{array}{cc}{a}_j& b_j\\ -b_j& a_j\end{array}\right),C_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),$$

且

$$J_{s_j}(a_j,b_j)=\left(\begin{array}{ccccc}{R}_j& I_2& & & \\ & R_j& I_2& & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & R_j& I_2\\ & & & & R_j\end{array}\right).$$ $${\tilde{J}}_{s_j}(a_j,b_j)=\left(\begin{array}{ccccc}{R}_j& C_2& & & \\ & R_j& C_2& & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & R_j& C_2\\ & & & & R_j\end{array}\right).$$

解答

证明 注意到实数域上的不可约多项式是一次多项式或者是判别式小于零的二次多项式，故可设 $A$ 的初等因子组为

$$(\lambda -{\lambda }_1{)}^{r_1},\cdots ,(\lambda -{\lambda }_k{)}^{r_k},((\lambda -a_1{)}^2+b_1^2{)}^{s_1},\cdots ,((\lambda -a_l{)}^2+b_l^2{)}^{s_l},$$

其中 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_k,a_1,b_1,\cdots ,a_l,b_l$ 都是实数，且 $b_1,\cdots ,b_l$ 都非零。

(1) 由例 7.95 (1) 可知，$A$ 实相似于

$$\mathrm{diag}\{J_{r_1}({\lambda }_1),\cdots ,J_{r_k}({\lambda }_k),J_{s_1}((\lambda -a_1{)}^2+b_1^2),\cdots ,J_{s_l}((\lambda -a_l{)}^2+b_l^2)\}.$$

注意到

$$F((\lambda -a_j{)}^2+b_j^2)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -(a_j^2+b_j^2)& 2a_j\end{array}\right)$$

与

$$R_j=\left(\begin{array}{cc}{a}_j& b_j\\ -b_j& a_j\end{array}\right)$$

有相同的特征值 $a_j\pm i{b}_j$，故它们在复数域上，从而也在实数域上相似。因为 $J_{s_j}((\lambda -a_j{)}^2+b_j^2)$ 的上次对角线都是 $I_2$，所以不难把这种相似关系扩张到整个广义 Jordan 块上，从而 $J_{s_j}((\lambda -a_j{)}^2+b_j^2)$ 实相似于 $J_{s_j}(a_j,b_j)$， 于是 $A$ 实相似于 $J$。

(2) 因为 ${\tilde{J}}_{s_j}((\lambda -a_j{)}^2+b_j^2)$ 的上次对角线都是 $C_2$， 所以用例 7.95 (2) 很难推出第二个结论，这里我们采用直接计算 ${\tilde{J}}_{s_j}(a_j,b_j)$ 的不变因子组的方法来证明。注意到 $\lambda I-{\tilde{J}}_{s_j}(a_j,b_j)$ 右上方的 $2s_j-1$ 阶子式等于 $(-1{)}^{2s_j-1}{b}_j^{s_j}\ne 0$，故 ${\tilde{J}}_{s_j}(a_j,b_j)$ 的 $2s_j-1$ 阶行列式因子为 1，于是其行列式因子组和不变因子组均为 $1,\cdots ,1,((\lambda -a_j{)}^2+b_j^2{)}^{s_j}$。由 $\lambda$-矩阵的初等变换以及例 7.10 可知， $A$ 和 $\tilde{J}$ 在实数域上有相同的初等因子组，从而它们在实数域上相似。$\square$