例 7.13

依赖于

• 例 2.3
• 例 7.12

被以下题目直接调用

• 例 7.14
• 例 7.20

例 7.13

设 $U$ 是 $V$ 的 $\phi$-不变子空间，求证：$U$ 为循环子空间的充要条件是 $\phi {|}_U$ 在 $U$ 的某组基下的表示矩阵为某个首一多项式的友阵。

解答

证明 先证充分性。设 $\phi {|}_U$ 在 $U$ 的一组基 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_r\}$ 下的表示矩阵是友阵 $C(d(\lambda ))$，其中 $d(\lambda )={\lambda }^r+a_1{\lambda }^{r-1}+\cdots +a_{r-1}\lambda +a_r$，则由友阵的定义（例 2.3）可知

$$\phi (e_i)=e_{i+1}(1\le i\le r-1),\phi (e_r)=-\sum _{i=1}^r{a}_{r-i+1}{e}_i.$$

因此 $e_i={\phi }^{i-1}(e_1)(2\le i\le r)$， $U=L(e_1,e_2,\cdots ,e_r)=C(\phi ,e_1)$ 为循环子空间。

再证必要性。设 $U=C(\phi ,\alpha )$ 是 $r$ 维循环子空间，则由例 7.12 可知 $\{\alpha ,\phi (\alpha ),\cdots ,{\phi }^{r-1}(\alpha )\}$ 是 $U$ 的一组基。设

$$\begin{array}{rl}{\phi }^r(\alpha )& =-a_r\alpha -a_{r-1}\phi (\alpha )-\cdots -a_1{\phi }^{r-1}(\alpha ),\end{array}$$

令 $d(\lambda )={\lambda }^r+a_1{\lambda }^{r-1}+\cdots +a_{r-1}\lambda +a_r$，容易验证： $\phi {|}_U$ 在基

$$\{\alpha ,\phi (\alpha ),\cdots ,{\phi }^{r-1}(\alpha )\}$$

下的表示矩阵就是友阵 $C(d(\lambda ))$。$\square$