例 2.3

依赖于

• 例 1.5

被以下题目直接调用

• 例 7.13

例 2.3

设首一多项式 $f(x)=x^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n$，$f(x)$ 的友阵

$$C(f(x))=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -a_n\\ 1& 0& \cdots & 0& -a_{n-1}\\ 0& 1& \cdots & 0& -a_{n-2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& -a_1\end{array}\right),$$

求证：$|x{I}_n-C(f(x))|=f(x)$。$C(f(x))$ 的转置 $F(f(x))$ 称为 $f(x)$ 的 Frobenius 块。

解答

证明 教材 [1] 的例 1.5.7 给出了上述行列式的计算，这里不再赘述。注意到 $C(f(x))$ 具有以下性质，其中 $e_i$ 是标准单位列向量：

$$C(f(x))e_i=e_{i+1}(1\le i\le n-1),C(f(x))e_n=-\sum _{i=1}^n{a}_{n-i+1}{e}_i.$$

$\square$