例 7.14

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• 例 7.13

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例 7.14

设 $\phi$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\phi$ 的特征多项式和极小多项式分别为 $f(\lambda )$ 和 $m(\lambda )$，证明以下 4 个结论等价：

(1) $\phi$ 的行列式因子组或不变因子组为 $1,\cdots ,1,f(\lambda )$；

(2) $\phi$ 的初等因子组为 $P_1(\lambda {)}^{r_1},P_2(\lambda {)}^{r_2},\cdots ,P_k(\lambda {)}^{r_k}$，其中 $P_i(\lambda )$ 是 $K$ 上互异的首一不可约多项式，$r_i\ge 1,1\le i\le k$；

(3) $\phi$ 的极小多项式 $m(\lambda )$ 等于特征多项式 $f(\lambda )$；

(4) $V$ 是关于线性变换 $\phi$ 的循环空间。

解答

证明 (1) $\iff$ (2)：由不变因子和初等因子之间的相互转换即得。

(1) $\iff$ (3)：由极小多项式等于最大的不变因子，以及所有不变因子的乘积等于特征多项式即得。

(1) $\iff$ (4)：若 $V$ 是循环空间，则由例 7.13 可知，$\phi$ 在某组基下的表示矩阵是友阵 $C(g(\lambda ))$，再由友阵的性质可知，$\phi$ 的行列式因子组和不变因子组均为 $1,\cdots ,1,g(\lambda )=f(\lambda )$。若 $\phi$ 的不变因子组为 $1,\cdots ,1,f(\lambda )$，则由有理标准型的几何意义可知，$V$ 是循环空间。$\square$