例 7.12

依赖于

• 例 3.8

被以下题目直接调用

• 例 7.13
• 第 7 章解答题 3

例 7.12

设 $U=C(\phi ,\alpha )$ 为循环子空间，若 $\dim U=r$，求证：

$$\{\alpha ,\phi (\alpha ),\cdots ,{\phi }^{r-1}(\alpha )\}$$

是 $U$ 的一组基。

解答

证明 设

$$m=\max \{k\in {\mathbb{Z}}^{+}\mid \alpha ,\phi (\alpha ),\cdots ,{\phi }^{k-1}(\alpha )\text{线性无关}\},$$

则由例 3.8 和数学归纳法容易验证：对任意的 $k\ge m$， ${\phi }^k(\alpha )$ 都是 $\alpha ,\phi (\alpha ),\cdots ,{\phi }^{m-1}(\alpha )$ 的线性组合，于是 $\{\alpha ,\phi (\alpha ),\cdots ,{\phi }^{m-1}(\alpha )\}$ 是 $U$ 的一组基，从而 $m=\dim U=r$。$\square$