例 3.8

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 3.20
• 例 3.55
• 例 7.12

例 3.8

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 是线性空间 $V$ 中一组线性无关的向量， $\beta$ 是 $V$ 中的向量。求证：或者 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m,\beta$ 线性无关，或者 $\beta$ 是 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 的线性组合。

解答

证明 若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m,\beta$ 线性无关，则结论得证。若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m,\beta$ 线性相关，则存在不全为零的数 $c_1,c_2,\cdots ,c_m,d$，使得

$$c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+\cdots +c_m{\alpha }_m+d\beta =0.$$

若 $d=0$，则 $c_1,c_2,\cdots ,c_m$ 不全为零且 $c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+\cdots +c_m{\alpha }_m=0$，这与 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性无关矛盾。因此 $d\ne 0$，从而

$$\beta =-\frac{c_1}{d}{\alpha }_1-\frac{c_2}{d}{\alpha }_2-\cdots -\frac{c_m}{d}{\alpha }_m,$$

即 $\beta$ 是 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 的线性组合。$\square$